Approximation of the three-field Stokes system via optimized quadrilateral finite elements

— In a recent paper the first two authors showed that a convenient choice of « bubble tensors » leads to a significant réduction of the number of degrees offreedom needed to definefinite element spaces for the extra stresses, suitablefor the solution of viscoelastic flow problems. In this context specialists' usual guiding criterion is a stable and accurate approximation of the underlying linear problem : the three-field Stokes system. Keeping this in view, a new element for the approximation of this problem following the same ideas is presented. Some computer tests illustrate the potentialities of the new methods. Résumé.—Dans un article récent, les deux premiers auteurs ont démontré qu'un choix convenable de « tenseurs bulle » permet une réduction très importante du nombre de degrés de liberté nécessaire pour définir des espaces d'approximation de type éléments finis, du tenseur d'extracontraintes, en vue de la simulation d'écoulements de fluides viscoêlastiques. Dans ce cadre, il est généralement admis qu'une méthode stable et précise pour l'approximation du problème linéaire sous-jacent est aussi efficace pour les systèmes non linéaires dont il est question. Ainsi on présente et on étudie ici une nouvelle méthode construite selon des principes semblables, pour le cas linéaire, à savoir, le système de Stokes à trois champs. De plus, on met en évidence le potentiel des nouvelles méthodes au travers de quelques exemples numériques.